Dãy số Fibonacci là một trong những khám phá toán học nổi tiếng và đáng kinh ngạc nhất, tiếp tục truyền cảm hứng cho các nhà khoa học, kỹ sư, nghệ sĩ và nhà nghiên cứu trên toàn thế giới. Nó thể hiện mối liên hệ sâu sắc giữa toán học và các quá trình tự nhiên, văn hóa và công nghệ. Khái niệm phổ quát này đóng vai trò là một ví dụ sinh động về cách các ý tưởng toán học trừu tượng có thể tìm thấy ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, khẳng định ý tưởng về mối liên hệ với nhau của mọi hiện tượng trên thế giới. Chuỗi Fibonacci được sử dụng tích cực, bao gồm cả giao dịch trên thị trường tài chính. Trong nền tảng MetaTrader 4 (MT4), trong số các công cụ đồ họa tích hợp, người ta có thể tìm thấy tùy chọn thoái lui Draw Fibonacci. Bằng cách sử dụng nó, nhà giao dịch có thể xác định các mức hỗ trợ và kháng cự tiềm năng cũng như tính toán các điểm đảo chiều giá có thể xảy ra. Vậy thiên tài toán học này là ai và trình tự của ông bao gồm những gì?
Leonardo xứ Pisa, hay còn được gọi là Fibonacci, sinh vào khoảng năm 1170 tại Pisa (một thành phố, nay là một phần của Ý). Bản thân Leonardo chưa bao giờ tự gọi mình là "Fibonacci". Lần đầu tiên đề cập đến "Leonardo Fibonacci" xuất hiện trong hồ sơ của Perizolo da Pisa, một công chứng viên của Đế chế La Mã Thần thánh, từ năm 1506. Từ Fibonacci là sự rút gọn của hai từ, "filius Bonacci", xuất hiện trên bìa của "Sách bàn tính" và nó có thể có nghĩa là "con trai của Bonacci". Theo một giả thuyết khác, "Bonacci" có thể được hiểu là biệt danh có nghĩa là "may mắn". Nhà toán học thường tự ký tên mình là "Bonacci", mặc dù đôi khi ông cũng sử dụng tên "Leonardo Bigollo" (từ "bigollo" trong phương ngữ Tuscan có nghĩa là "kẻ lang thang" cũng như "người làm biếng").
Lớn lên trong một gia đình thương gia, Leonardo được làm quen với thương mại và các khía cạnh thực tiễn của toán học ngay từ khi còn nhỏ, điều này đã định hình đáng kể mối quan tâm và thành tựu khoa học của ông. Cha của ông thường xuyên tới Algeria vì các vấn đề thương mại, nơi Leonardo học toán dưới sự hướng dẫn của các giáo viên Ả Rập. Sau đó, Fibonacci đến thăm Ai Cập, Syria và Byzantium, làm quen với các tác phẩm của các nhà toán học cổ đại và Ấn Độ được dịch sang tiếng Ả Rập. Dựa trên kiến thức này, Fibonacci đã viết một số chuyên luận toán học, trong đó quan trọng nhất là "Sách bàn tính" (tiếng Latin: Liber abaci), được xuất bản lần đầu tiên vào năm 1202, với phiên bản sửa đổi sau đó vào năm 1228.
Cuốn sách này được dành riêng cho việc trình bày và quảng bá số học thập phân, đồng thời đặt nền móng cho việc phổ biến các chữ số Ấn Độ-Ả Rập, bao gồm cả khái niệm số 0. Trong tác phẩm này, Fibonacci khám phá tiềm năng của những con số này, vốn bị hiểu lầm trước đây, làm thay đổi hoàn toàn nền toán học châu Âu. Điều quan trọng là "Sách bàn tính" được viết bằng ngôn ngữ đơn giản, rõ ràng hơn nhiều so với các nguyên mẫu cổ xưa và Hồi giáo. Những vấn đề thực tế mà nó đưa ra, chủ yếu nhắm vào các thương gia, đã tạo điều kiện thuận lợi cho danh tiếng và sự nổi tiếng của nó.
Đóng góp nổi tiếng nhất của Fibonacci cho toán học đến từ những con số mang tên ông. Bài toán sinh sản của thỏ, được nêu trong “Sách bàn tính”, là một ví dụ kinh điển dẫn đến việc hình thành dãy số nổi tiếng. Bài toán này được đề xuất để minh họa nguyên lý tăng trưởng quần thể ở thỏ. Người ta phát biểu như sau: giả sử có một cặp thỏ mới sinh, một con đực và một con cái. Thỏ bắt đầu sinh sản khi được một tháng tuổi. Vào cuối mỗi tháng, mỗi cặp thỏ trưởng thành sẽ sinh ra một cặp thỏ mới (một đực và một cái). Giả sử thỏ không chết và tiếp tục sinh sản theo quy luật trên thì trong một năm sẽ có bao nhiêu cặp thỏ?
Bản chất của việc giải quyết vấn đề nằm ở chỗ số cặp thỏ trong mỗi tháng tiếp theo bằng tổng số cặp trong tháng trước và số cặp thỏ mới sinh trong tháng trước đó. Điều này là do mỗi cặp trưởng thành đóng góp thêm một cặp vào tổng số. Do đó, chuỗi trông như sau: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, v.v. trong đó mỗi số là tổng của hai số liền trước. Chuỗi này được gọi là chuỗi Fibonacci.
Dãy số Fibonacci không chỉ thể hiện mô hình toán học về tăng trưởng dân số mà còn thể hiện sự tương tác giữa toán học và các quy luật tự nhiên, liên kết chặt chẽ với Tỷ lệ vàng.
Nguồn gốc của Tỷ lệ vàng có từ lâu đời trong lịch sử. Một số nghiên cứu cho rằng người Ai Cập cổ đại có thể đã biết về nó, đặc biệt là trong việc xây dựng các kim tự tháp, mặc dù bằng chứng có thể được giải thích theo nhiều cách khác nhau. Sự trình bày có hệ thống đầu tiên về các nguyên tắc Tỷ lệ vàng được cho là của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid, người trong tác phẩm "Các phần tử" của mình đã mô tả việc phân chia một đoạn thành "tỷ lệ cực đại và trung bình". Euclid đã đặt ra cơ sở toán học của tỷ lệ này nhưng không gán cho nó giá trị thẩm mỹ mà nó có cho đến ngày nay. Trong số những ví dụ thực tế tiếp theo về tỷ lệ này ở Hy Lạp cổ đại là đền Parthenon nổi tiếng ở Athens (447–438 TCN), do các kiến trúc sư Ictinus và Callicrates thiết kế.
Trong thời kỳ Phục hưng, sự quan tâm đến Tỷ lệ vàng tăng lên khi các nghệ sĩ và kiến trúc sư như Leonardo da Vinci và Le Corbusier bắt đầu tích cực sử dụng nó trong các tác phẩm của họ, cố gắng đạt được sự hài hòa và hoàn hảo về hình thức. Leonardo da Vinci đã khám phá Tỷ lệ vàng và áp dụng nó trong các tác phẩm nổi tiếng của ông, bao gồm cả “Mona Lisa” và “Người Vitruvian”. Ông gọi Tỷ lệ vàng là "Tỷ lệ thần thánh", nêu bật ý nghĩa sâu sắc của nó đối với nghệ thuật và kiến trúc.
Vậy “Tỷ lệ thần thánh” này là gì? Đó là một số vô tỷ, được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp φ (phi), xấp xỉ bằng 1,618033988749895. Tỷ lệ này phát sinh khi một đường thẳng (hoặc một vật thể khác) có thể được chia theo cách sao cho tỷ lệ của tổng thể với phần lớn hơn bằng tỷ lệ của phần lớn hơn với phần nhỏ hơn.
Mối liên hệ giữa dãy Fibonacci và Tỷ lệ vàng thể hiện ở chỗ chúng ta càng tiến xa trong dãy thì tỷ lệ của hai số Fibonacci liên tiếp càng tiến gần đến Tỷ lệ vàng. Ví dụ: chia số 21 cho số đứng trước trong dãy 13, sẽ được kết quả xấp xỉ 1,615. Khi các số trong dãy tăng lên, tỷ lệ này trở nên gần hơn với 1,618 hoặc "Tỷ lệ thần thánh".
Mối quan hệ này không chỉ được phản ánh trong toán học mà còn trong tự nhiên, nghệ thuật, kiến trúc và các lĩnh vực khác, nơi những tỷ lệ gần với Tỷ lệ vàng được coi là đặc biệt hài hòa và có tính thẩm mỹ. Những đặc tính độc đáo của nó và sự thể hiện ý tưởng hài hòa khiến Tỷ lệ vàng trở thành một chủ đề nghiên cứu và ứng dụng vĩnh cửu.
Mối liên hệ chặt chẽ của dãy Fibonacci với Tỷ lệ vàng khiến nó trở thành một công cụ độc đáo để phân tích và tìm hiểu các dạng và hiện tượng tự nhiên. Số Fibonacci được tìm thấy ở nhiều khía cạnh của nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, từ sự sắp xếp của lá và hoa trên cây cho đến các vòng xoắn ốc của các thiên hà. Trong âm nhạc, một số nhà soạn nhạc đã cấu trúc tác phẩm của mình bằng cách xác định độ dài của các đoạn giai điệu hoặc hòa âm bằng số Fibonacci.
Trong sinh học, những con số này giải thích sự sắp xếp của lá, cành và thậm chí cả hạt trong hoa, giúp tiếp xúc tối đa với ánh sáng mặt trời và các nguồn tài nguyên khác. Ví dụ, ở hoa hướng dương, số lượng hạt xoắn ốc theo một hướng và hướng kia thường tương ứng với các số Fibonacci liên tiếp. Giống như trong bài toán con thỏ ban đầu, trình tự này có thể mô hình hóa các kịch bản tăng trưởng dân số thực tế cho nhiều loài sinh vật khác nhau.
Trong vật lý lượng tử, các dãy tương tự như Fibonacci có thể mô tả một số tính chất nhất định của giả tinh thể và các cấu trúc phức tạp khác. Sự sắp xếp các nguyên tử trong phân tử của một số hợp chất hóa học tuân theo trình tự tương tự như Fibonacci, ảnh hưởng đến tính chất vật lý và hóa học của chúng. Trong lập trình, dãy Fibonacci được sử dụng rộng rãi để dạy các thuật toán đệ quy và lặp lại. Nó đã được áp dụng trong một số mô hình trí tuệ nhân tạo để tối ưu hóa quá trình học tập và nhận dạng mẫu. Nó cũng được sử dụng trong lý thuyết tối ưu hóa và phát triển các thuật toán hiệu quả, bao gồm đánh giá độ phức tạp của vấn đề, tối ưu hóa các truy vấn cơ sở dữ liệu và cải thiện hiệu suất hệ thống.
Nghiên cứu về tâm lý học cho thấy mọi người sử dụng trực quan các nguyên tắc tương tự như dãy Fibonacci khi đưa ra quyết định trong điều kiện không chắc chắn, chẳng hạn như khi đánh giá xác suất. Hiện tượng này đã được ứng dụng trong giao dịch trên thị trường tài chính, kết hợp toán học và trực giác thị trường, điều mà chúng ta sẽ thảo luận chi tiết trong một bài viết riêng.
